2010-09-13
Y esta vez, contrario a lo que parecería, no se trata del libro de R. Bradbury, sino de ciencia.
¿A qué distancia cayó ese rayo? Está lloviendo en Montevideo, y puede ser que alguien se pregunte eso.
Vamos a llegar a una fórmula sencilla y aproximada para, con un reloj, y sólo haciendo "una cuenta" saber a qué distancia cayó ese rayo...
La deducción que propongo (como siempre, estoy abierto a cualquier corrección o acotación) es la siguiente:
Imaginemos que la luz del rayo que llega a nuestros ojos es una partícula, al igual que el sonido del trueno. Como tanto este último como la primera son consecuencia del mismo fenómeno, podemos decir que son dos partículas, partiendo del mismo punto, con velocidades distintas (la luz a la "velocidad de la luz" y el sonido a "la velocidad del sonido").
Tanto la velocidad de la luz como la del sonido dependen de varios factores (medio -vacío, agua, aire-, temperatura, etc., ya que después de todo, y más allá de la simplificación inicial, son ondas desplazándose por el "aire" hasta llegar a nuestros ojos y oídos). Pero como es una simplificación, y el error que se comete por no cometer esas aproximaciones no es grande (la diferencia en el índice de refracción entre aire y agua es de cerca del 3 %, por ejemplo), podría tenerse:
xR=c·t (siendo xR la "posición" del rayo en el momento "t" y c la velocidad de la luz)
Del mismo modo:
xT=z·t (siendo xT la "posición" del trueno en el momento "t" y z la velocidad del sonido)
Si el espectador se encuentra a una distancia "d" (lo que buscamos conocer) de donde ocurrió el fenómeno ("donde cayó el rayo"), tendremos que:
d=c·tR (siendo tR el tiempo que transcurre entre que cae el rayo y que el espectador lo ve)
d=z·tT (siento tT el tiempo que transcurre entre que ocurre el fenómeno y el espectador oye el trueno)
No es posible conocer tR ni tT, pero si la diferencia entre ellos: vemos caer el rayo, vemos cuánto tiempo transcurre hasta que se escucha el trueno, y éste será, precisamente, el único parámetro que necesitaremos para saber a qué distancia ocurrió el fenómeno.
Si d=c·tR, tR=d/c, y del mismo modo tT=d/z
Por lo tanto:
tT-tR= d·(1/z-1/c)
Dado que z<<c (más allá de los factores de los que dependen estos parámetros, la velocidad de la luz es del orden de 300 Mm/s y la del sonido del orden de 350 km/h), por lo que 1/c es despreciable frente a 1/z:
tT-tR es aproximadamente d/z
Por lo que, teniendo en cuenta las unidades, podemos llegar a la conclusión de que:
d=(tT-tR)/3
Estando la distancia en kilómetros y el tiempo en segundos.
Como conclusión, entonces, nos fijamos cuánto demora en escucharse el trueno luego de que cayó el rayo, y dividiendo el tiempo en segundos entre tres, obtendremos, aproximadamente, la distancia en kilómetros.
Por ejemplo, si pasan 3 s entre que "la luz" del rayo y "el sonido" del trueno se escuchan, el rayo cayó a aproximadamente un kilómetro de la ubicación del espectador.
Si les interesa publico los cálculos exactos y el análisis dimensional, pero les aseguro que ese "3" no tiene un error de más de 0.3 % (el "3" en realidad está entre 2.9 y 3.0).
Nuevamente, a disposición por cualquier aclaración o corrección.
Nota 2010-09-15: Gracias Gonzalo por la corrección. El resto (y en especial, la conclusión) estaba bien, pero está claro que 1/c es depreciable frente a 1/z.
